miércoles, 26 de septiembre de 2012

lunes, 27 de agosto de 2012

Angulos


Definición y características

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:
  1. Forma geométrica: Se denomina "ángulo" a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
  2. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Regiones determinadas por los ángulos DPB, APD, APC y CPB.
Definiciones clásicas
Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclo, un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudermo de Rodas, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.
Región angular
Se denomina región angular a cada una de las cuatro partes ilimitadas en que queda dividido un plano por dos rectas que se cortan.

Clasificación de ángulos

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:
TipoDescripción
Ángulo nuloEs el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo
Ángulo agudo.svg
Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de \frac{\pi}{2} rad.
Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).
Ángulo recto
Ángulo recto.svg
Un ángulo recto es de amplitud igual a \frac{\pi}{2} rad
Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso
Ángulo obtuso.svg
Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a \frac{\pi}{2} rad y menor a \pi\, rad
Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).
Ángulo llano, extendido o colineal
Ángulo llano.svg
El ángulo llano tiene una amplitud de  \pi \, rad
Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).
Ángulo oblicuo
Ángulo cóncavo.svg
Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.
Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.
Ángulo completo
o perigonal

Ángulo completo.svg
Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de  2\pi\, rad
Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).

Ángulos convexo y cóncavo

 TipoDescripciónÁngulo convexo
o saliente

Ángulo agudo.svg
Es el que mide menos de  \pi\, rad.
Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales).
Ángulo cóncavo,
reflejo o entrante
Ángulo cóncavo.svg
Es el que mide más de  \pi\, rad y menos de  2 \pi\, rad.
Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de 400g centesimales).









miércoles, 22 de agosto de 2012

Héroes Nacionales

Excelente desempeño en los juegos olimpicos.


Colombia en los Juegos Olímpicos está representada por el Comité Olímpico Colombiano. El país inició su participación en los certámenes olímpicos en los Juegos Olímpicos de Los Ángeles 1932. Desde ese año estuvo presente en todos los certámenes a excepción de los Juegos Olímpicos de Helsinki 1952.1 Sin embargo, solo fue en los Juegos Olímpicos de Múnich 1972 que empezó a obtener medallas.2 Desde el año2010, Colombia también participa en los Juegos Olímpicos de Invierno y en los Juegos Olímpicos de la Juventud en su primera edición. En cuanto a medallas de oro, Colombia ocupa el cuarto puesto en Suramérica, después de BrasilArgentina y Chile; y el séptimo puesto en América Latinadespués de Cuba, Brasil, Argentina, MéxicoRepública Dominicana y Chile. Venezuela cuenta con el mismo número de medallas de oro que Colombia, pero es superada por esta última en medallas de plata, primer criterio de desempate. Las dos medallas de oro obtenidas hasta 2012 se lograron en los Juegos Olímpicos de Sídney 2000 y en Londres 2012.





Propiedades y clasificación de triángulos


Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no colineales). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.
Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices.


Propiedades de los triángulos

Un cuadrilátero con sus diagonales.
Un tetraedro.
Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono con tres vértices.
El triángulo es el polígono más simple y el único que no tiene diagonal. Tres puntos no alineados definen siempre un triángulo (tanto en el plano como en el espacio).
Si se agrega un cuarto punto coplanar y no alineado, se obtiene un cuadrilátero que puede ser dividido en triángulos como el de la figura de la izquierda. En cambio, si el cuarto punto agregado es no coplanar y no alineado, se obtiene un tetraedro que es elpoliedro más simple y está conformado por 4 caras triángulares.
Todo polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos, esto se logra por triangulación. El número mínimo de triángulos necesarios para ésta división es n-2, donde n es el número de lados del polígono. El estudio de los triángulos es fundamental para el estudio de otros polígonos, por ejemplo para la demostración del Teorema de Pick.
En geometría euclidiana2 la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es siempre 180°, lo que equivale a π radianes:

\alpha +\beta +\gamma =180 {}^{\circ}=\pi
La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados.
Euclides había demostrado este resultado en sus Elementos (proposición I-32) de la siguiente manera: se traza una paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura de la derecha (ángulos alternos-internos). Del mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice C es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de 180 ° (o π radianes). En conclusión, la suma de los ángulos de un triángulo es 180 °.
Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en general en la geometría no euclidiana.

[editar]Otras propiedades

  • La suma de las longitudes de dos de los lados de un triángulo es siempre mayor que la longitud del tercer lado.
  • El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.
  • Los triángulos (polígonos de tres lados) son los únicos polígonos siempre convexos, no pueden ser cóncavos, dado que ninguno de sus tres ángulos puede superar los 180 grados ó \piradianes.
  • Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:
\frac{a}{\operatorname{sen}(\alpha\,)} = \frac{b}{\operatorname{sen}(\beta\,)} = \frac{c}{\operatorname{sen}(\gamma\,)}
El teorema de Pitágoras gráficamente.
  • Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que establece: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:
a^2=b^2+c^2-2bc \cdot cos(\alpha\,)\,
b^2=a^2+c^2-2ac \cdot \cos(\beta\,)\,
c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \cos(\gamma\,)\,
  • Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:
  c^2 = b^2 + a^2 \,
De la ecuación anterior se deducen fácilmente 3 fórmulas de aplicación práctica:
Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas
 a = \sqrt {c^2 - b^2}  b= \sqrt{c^2-a^2}  c = \sqrt {a^2 + b^2}